楕円形

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分数のおもしろさ

分数と約分


分数は便利な計算方法です。小数や整数の乗除の混じった式 を筆算ですると、途中で数が大きくなったり、ケタ数が増えることがありますが、式を分数の積のかたちで表すと、『 約分 』という操作ができる場合が多いので、比較的容易に答えを出すことができます。

式1


のような式を分数を使わずに筆算ですると面倒ですが、
分数に直して計算するとあっさり答えが出てきます。

分数1



また、

式2


のような計算では、分数を使わないで計算すると、途中で循環小数になってしまって、計算不能です。
(順序を入れ替えて計算するやり方もありますが、計算ルール上、あまり好ましくありません)

分数で計算すると、

分数2

なぜ 分数の割り算では、割る数をひっくり返して かけるのか?

式3


割り算では、(割られる数)と(割る数)に同じ数を掛けたり割ったりしても答えは変わりません。

たとえば、↓

式4


そこで、このことを利用して(割る数)を 1 にするために、
(割られる数)と(割る数)に、(割る数)の逆数を掛けている。

文章で書くとまぎらわしいですが、式にしてみると分かりやすい。↓

分数3
分数と比と割合と歯車


『下の図のように、6つの歯車A,B,C,D,E,Fがかみ合っている。 A,B,C,D,E,Fの歯車の歯の数がそれぞれ
18,9,13,8,17,27のとき、
Aが12回転すると、Fは何回転するか?』

……という問題を解くとき、

歯車1


2つの歯車の歯数と回転数には

(Aの歯数)×(Aの回転数)=(Bの歯数)×(Bの回転数)

という関係がありますので、普通は上の式を使って計算しますが、この問題は歯車が6つあるので、同じ式で都合5回も計算をしなければなりません。 そこで、

歯車2


このやり方で最初の問題を解いてみると、

歯車3


上の式を見てわかるように、 AとFとに挟まれた他の歯車は、 AとFの回転数にまったく影響していません。

つまり、2つの歯車の間にどんな歯数の歯車が いくつ かみ合っていても 2つの歯車の回転数 には関係しない(理屈の上では)ことが 視覚的にわかるところに、この分数の式のおもしろさがあります。

歯車
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